Interés Compuesto

Interés Compuesto

Formlario:

S = P(1 + i)ⁿ

S = Monto

P = Capital

i = tasa de interés por período

n = número de períodos de inversión

Monto	Capital	tasa de interés por período	Número de períodos (relacionado con el tiempo)
S = P(1 + i)n	P = S/(1 + i )n	P(1 + i)n = S (1 + i)n = S/P 1 + i = n√(S/P) i = n√(S/P)  - 1	S/P = (1 + i)n log(S/P) = log(1 + i)n log(S/P) = nlog(1 + i) nlog(1 + i) = log(S/P) n = log(S/P)/log(1 + i)

Ejemplos:

1.- ¿Cuál será el monto de una inversión de $1000.00 al 9% de interés capitalizable mensualmente si esta se invierte durante 10 meses.

S = 1000(1 + 0.0075)¹⁰ = 1000(1.0075)¹⁰ = 1000(1.0775825) = $1,077.58

2.- ¿Cuánto habrá que invertir para lograr una inversión de $1,077.58 si la tasa es del 9% capitalizable mensualmente durante 10 meses?

P = S/(1 + i)ⁿ = 1077.58/(1 + 0,0075)¹⁰ = 1077.58/ 1.07758 = $1,000.00

3.- ¿Cuál es la tasa de interés a la que debe realizarse una inversión para que $1000.00 nos proporciones $77.58 de intereses en un período de 10 meses?

i = ⁿ√(S/P) – 1 = ¹⁰√(1077.58/1000) – 1 =  ¹⁰√(1.07758) – 1 = 1.0075 -  1 = 0.0075

El interés así obtenido es por período y en forma decimal, para traducirlo a porcentaje, debe multiplicarse por 100, y por 12:

i = 100(0,0075)12 = 0,75(12) = 9% Esta es la tasa anual nominal de la inversión.

4.- ¿Cuánto tiempo deberá mantenerse una inversión para que $1000.00 generen $77.58 de intereses, sabiendo que la tasa es del 9% de interés capitalizable mensualmente?

n = log(S/P)/log(1 + i) = log(1077.58/1000)/log(1 + 0.0075) = log(1.07758)/log(1.0075) = 0.032453552495/0.003245054813147 = 9.999683 que redondeado nos da 10 meses.

Descuento bancario y pagarés

Descuento bancario y Pagarés

D = Sdt

P = S – D

P = S – Sdt = S(1 – dt)

S = P/(1 – dt)

d = r/(1 – rt)

r = d/(1 + rt)

Ejemplo:

1.- Un pagaré de $5000.00 a una tasa del 6% vence dentro de 3 meses, sin embargo, un mes antes de su vencimiento, este se vende aplicando un descuento del 10%. ¿Cual será el valor de dicho documento?

Diagrama de tiempo:

$5000.00                                                                                                      5075.00

                                                                          $5032.71

Solución:

Valor de vencimiento:	Valor del documento:
S = P(1 + rt) S = 5000(1 + 0.06(3/12)) = = 5000(1.015) =  5075.00	D = Sdt = 5075(0.10/12) = 42.29 P = S – D = 5075.00 - 42.29 = $5032.71

Interes SImple MONTO

Cálculo del Monto

El monto es la cantidad que nos dan tanto el capital como los intereses.

Fórmula:

S = P(1 + rt)

S = Cantidad en moneda que incluye el capital más los intereses S = P + I

Despejes:

P(1 + rt) = S Capital P = S/(1 + rt)

P(1 + rt) = S 1 + rt = S/P r t = (S/P – 1) tasa de interes r = (S/P – 1)/t

P(1 + rt) = S 1 + rt = S/P r t = (S/P – 1) tiempo t = (S/P – 1)/r

Ejemplos:

1.- ¿Cuál será el monto que tendremos al invertir $1000.00 durante 8 meses a una tasa del 6%?

S = Variable por calcular

P = $1000,.00 i = 0.06           t = 8/12 = 2/3

Sustituir:

S = 1000(1 + 0.06/(2/3))

S = 1000(1 + 0.04) = $1040.00

Basándonos en el mismo ejemplo:

Podremos ahora calcular las otras variables (aunque ya sabemos el valor que deberán tener)

2.- ¿Cuánto debo invertir ahora, para que dentro de 8 meses invertidos a una tasa del 6% me permitan obtener un monto de $1040.00?

P = Variable desconocida

Sustituir:

S = $1040.00  r = 0.06           t = 2/3

P = 1040/(1 + 0,06(2/3))

P = 1040/(1 + 0.04)

P = 1040/1.04 = $1000.00

3.- ¿Cuál deberá ser la tasa, a la que haya que invertir $1000.00 para obtener un monto de $1040.00 durante 8 meses?

r = variable desconocida.

S = $1040.00             P = $1000.00  t = 2/3

Sustituyendo:

r = (1040/1000 – 1)/(2/3)

r = (1.040 – 1)/(2/3)

r = 0.040/(2/3)

r = 3(0.04)/2 = 0.06 = 6%

4.- ¿Cuánto tiempo habrá que invertir $1000.00 para que al cabo de 8 meses podamos retirar de nuestra cuenta $1040,00, si la tasa de interés es del 6%?

t = Variable por calcular

S = $1040.00              P = $1000.00  r = 0.06

Sustituyendo:

t = (1040/1000 – 1)/0.06

t = (1.040 – 1)/0.06

t = 0.040/0.06 = 2/3

Para calcular el tiempo en meses tomamos la fracción o decimal que resulte, y la multiplicamos por 12, de tal forma que (2/3)12 = 24/3 = 8 meses.

Si quisiéramos obtener el plazo en días, podríamos multiplicar por 360, lo que nos da (2/3)360 = 720/3 = 240 días.

Interés Simple

Matemáticas Financieras

I Interés Simple

Fórmula para calcular el Interés Simple                                    I = Prt

I = Cantidad monetaria de los intereses generados por una inversión.

P = Cantidad monetaria invertida, también conocida como valor presente.

r = tasa de interés anual.

t = tiempo de la inversión

Ejemplo:

1.- ¿Cuál será el interés de $1000.00 al 3% anual durante 6 meses?

I = variable desconocida

P = $1000.00  r = 0.03 (porcentaje en forma decimal)         t = ½ (equivalente a la mitad del año)

Sustitución a la fórmula: I = 1000(0.03)( ½ ) = $ 15.00

Despejes de la fórmula:

I = Prt

Despejando P: Prt = I P = I/rt

Despejando r: Pert = I r = I/Pt

Despejando t: Prt = I T = I/Pr

Basándonos en el mismo ejemplo y tomando ahora como variable desconocida el valor de la inversión:

2.- ¿Cuánto habrá que invertir para tener $15.00 de interés si el capital se invierte durante 6 meses al 3% de interés anual?

P = variable desconocida

I = $15.00       r = 0.03           t = 6 meses (equivalentes a ½ año)

Sustitución de la formula:

P = 15/(0,03)(½)  = $1000.00

Realiza cuidadosamente las operaciones con la calculadora, ya que al estar el año en forma fraccionaria pueden ocurrir errores al momento de utilizarla.

3.- ¿Qué tasa me proporcionará $15.00 por concepto de interés, si invierto $1000.00 durante 6 meses?

r = variable desconocida.

I = $15.00       P = $1000.00             t = ½ año

r = 15/(1000)(½) = 0.03 aunque en este caso el resultado es el correcto, preferentemente debe darse en forma porcentual, por lo que lo multiplicamos por 100 para que pueda leerse como r = 3%

4.- ¿Cuánto tiempo debo mantener una inversión de $1000.00 para que me produzca $15.00 de interés, si la tasa es del 3%?

t = variable desconocida.

P = $1000.00  I = $15.00       r = 0.03

t = 15/1000(0.03) = 0.5

El resultado obtenido en forma decimal, nos permite decidir si la respuesta la queremos en meses o en años.

Si la multiplicamos por 12 (número de meses en un año), nos dará 6 meses

Si la multiplicamos por 360  (número de días en el año), nos dará 180 días.