Anualidades

Anualidades:

Ecuaciones que implican el uso de pagos periódicos (Renta)

Ecuaciones en función del monto (valor futuro)		Ecuaciones en función del valor actual (valor presente)
Sn = R((1 + i)n – 1)/i		An = R(1 – (1 + i)-n)/i
R = Sni/((1 + i)n – 1)		R = Ani/(1 – (1 + i)-n)
n = log(Sni/R + 1)/log(1 + i)		n = - log(1 – Ani/R)/log(1 + i)
Usando las tablas financieras
Sn = Rsn	R = Sn/sn	An = Ran	R = An/an

S_n = monto de una operación

R = pago periódico

n = número de períodos

i = tasa de interés por período

s_n = factor de monto obtenido de las tablas financieras

A_n = valor presente de una operación

a_n = factor de valor presente obtenido de las tablas financieras

Ejemplos:

1) ¿Cual es el monto de pagos periódicos de $1000.00 efectuados mensualmente durante un año, si se obtiene una tasa de 9% capitalizable mensualmente?

R = 1000;  i = 9%/12  = 0.0075, n = 12

 S_n = R((1 + i)ⁿ – 1)/i

S_n = 1000((1 + 0,0075)¹² – 1)/0,0075

Resolviendo paso por paso:

S_n = 1000(1.0075)¹² – 1)/0,0075

S_n = 1000((1.093807 – 1)/0,0075

S_n = 1000((0.093807)/0,0075

S_n = 93.807/0,0075

S_n = $12,507.59

Como podrá observarse el ahorro de $1000,00 mensuales durante un año proporciona intereses de $507.59

2) ¿Cuál debe ser el pago mensual en una cuenta que genera el 9% de interés capitalizable mensualmente para obtener $12,500.00?

S_n = $12,500.00;  i = 0.0075; n = 12

R = S_ni/((1 + i)ⁿ – 1)

R = 12500(0,0075)/((1 + 0.0075i)¹² – 1)

R = 93.75/((1.0075)¹² – 1)

R = 93.75/(( 1.0938069 – 1)

R = 93.75/0.0938069

R = $999.39

Como podrá observarse, la cuota es de casi $1000,00, esto se debe a que la cantidad que deberá acumularse es de $12,500.00, no de $12,507.59 como en el problema 1.

3) ¿Cuánto tiempo deberá pagarse una cuota de $1000.00 mensuales, si se desea acumular la cantidad de $12,500.00 en una cuenta que proporciona el 9% capitalizable mensualmente?

S_n = 12500; i = 0.0075; R = $1000.00

n = log(S_ni/R + 1)/log(1 + i)

n = log(12500(0,0075)/1000 + 1)/log(1 + 0.0075)

n = log(93.75/1000) + 1)/log(1.0075)

n = log(0.09375 + 1)/log(1.0075)

n = log(1.09375)/log(1.0075)

n = 0.03891806603036/ 0.00324505481314

n = 11.993038 que bien podría redondearse a 12 períodos mensuales.

Tomando ahora el valor presente como referencia

4) ¿Cuál es el valor presente de una cuota de $1000.00 que deberá pagarse mensualmente durante un año, si la tasa de interés es del 9% capitalizable mensualmente?

R = 1000.00, i = 0.0075

A_n = R(1 – (1 + i)^-n)/i

A_n = 1000(1 – (1 + 0.0075)^-12)/0.0075

A_n = 1000(1 – (1.0075)^-12)/0,0075

A_n = 1000(1 – 0.91424)/0,0075

A_n = 1000(1 – 0.91424)/0,0075

A_n = 1000(0.085762)/0,0075

A_n = 85,76/0,0075

A_n = 85,76/0,0075

A_n  = $11,434.91

5) ¿De cuánto deberá ser la cuota mensual durante un año para cubrir un adeudo de $11,434.91 que podría pagarse de contado o periódicamente a una tasa del 9% capitalizable mensualmente?

A_n = 11434.91, i = 0,0075, n = 12

R = A_ni/(1 – (1 + i)^-n)

R = 11434.91(0.0075)/(1 – (1 + 0.0075)^-12)

R = 11434.91(0.0075)/(1 – (1 + 0.0075)^-12)

R = 85.761825/(1 – 1.0075^-12)

R = 85.761825/(1 – 1.0075^-12)

R = 85.761825/(1 - 0.914238154951)

R = 85.761825/0.0857618450484

R = $1000.00

6) ¿Durante cuanto tiempo será necesario pagar una cuota de 1000.00 sabiendo que deberá cubrirse un adeudo de $11,434.91 a una tasa del 9% capitalizable mensualmente?

A_n = 11,434.91, R = 1000.00, i = 0.0075

n = - log(1 – A_ni/R)/log(1 + i)

n = - log(1 – 11434.91(0.0075)/1000)/log(1 + 0.0075)

n = - log(1 - 0.085761825)/log(1.0075)

n = - log(0.914238175)/log(1.0075)

n = - (- 0.038940648234)/ 0.00324505481314

n = 11.9999970 que puede redondearse fácilmente a 12 períodos mensuales, que por supuesto nos dan 1 año.