Otro tipo de Anualidades.
Formulario:
Algunos ejercicios se
resuelven de más de una forma, utiliza la que más te convenga.
Ejemplos:
1) Se hace una inversión de $200 al
principio de cada año durante 10 años. Si el interés es del 6% tasa efectiva,
¿cuál será el valor acumulativo de esta inversión al final de 10 años?
Selecciona la forma que más te agrade para
resolverlo:
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1)
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Sn(ant) = 1000(s11
– 1)
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= 1000(13.97164) = $13,971.64
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2)
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Sn(ant) = 1000s10(1.06)
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= 1000(13.18079)1.06 = $13,97164
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3)
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Sn(ant) = 1000 [{(1.06)20
– 1}/0.06](1.06)
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= $13,971.64
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2) Un estudiante desea reunir $12,000 con el fin de realizar un viaje
después de terminar sus estudios, dentro de 4 años, a partir del día de hoy.
¿Cuánto deberá invertir al inicio de cada año, empezando de inmediato, si
pudiera ganar el 5% de interés anual capitalizable anualmente sobre sus
ahorros?
Convendría que realizaras un diagrama de
tiempo para observar el comportamiento de los pagos y del único retiro
realizado.
Nuevamente se presentan
distintas opciones para resolverlo:
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1)
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12000 =
R(s5 – 1) = 4.525631R
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R = 12000/4.525631
= $2,651.56
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2)
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Rs4
= 12000(1 + i)-1 =
R = [12000(1.05)-1]/s4
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12000(0.952381)(0.232012)
= $2,651.56
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3)
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12000 =
Rs4(1.05) = R(4.310125)1.05
12000 = 4.52563R
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12000/4.52563 = $2,651.56
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3) La prima sobre una póliza de seguro de vida es de $600.00 por
trimestre pagadera por anticipado. Encontrar el equivalente de contado de
primas anuales si la compañía de seguros cobra el 6% de interés capitalizable
trimestralmente por el privilegio de pagar de esta forma en lugar de pagar de
inmediato todo el año.
Datos:
R = 600, n = 4, i = 1½%
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1)
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An(Ant)
= 600(a3 + 1)
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= 600(3.9122)
= $2347.32
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2)
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An(Ant)
= 600a4(1.015)
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= 600(3.8544)1.015
= $2347.32
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3)
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An(Ant) = 600[1 – (1.015)-4](1.015)/0.015
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= $2347.32
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4) El beneficiario de una póliza de seguro de vida puede optar por
recibir $100,000.00 de inmediato en efectivo o recibir 10 pagos anuales
iguales, el primero de ellos se debe hacer de inmediato. ¿Cuál sería el pago
anual si el dinero vale el 6%?
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1)
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100,000 = R(a9 + 1) =
7.8016923R
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R = 100,000/7.8016923 = $12,817.73
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2)
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Rs10 = 100,000(1.06)9
= 100,000(1.06)9/s10
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= 100,000(1.6894790)0.0758680 = $12,817.73
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5) Un préstamo de $100,000 se amortizará
efectuando pagos de $10,000 al final de cada año y se hará un pago final que
cancele la deuda por el capital insoluto a tal fecha. Determina la cantidad de
pagos totales que deben realizarse, y el importe del pago final si la tasa de
interés es del 6% capitalizable anualmente.
Primeramente buscaremos el valor de an
que debería venir en las tablas (o por lo menos nos daremos una idea del número
de períodos que habrá que tomar en cuenta para que la relación que presentamos
se cumpla:
10,000an
= 100,000 è an = 10
Encontrando con i = 6% en las tablas
financieras este valor (5ª columna) descubrimos que an = 10, se
encuentra entre n = 15 y n = 16, con lo
que podemos decir que se requieren de 15 pagos completos y uno adicional para
cubrir con la deuda.
100,000(1.06)16 = 100,000(2.54035168)
= $254,035.16
10,000(s(15+1) – 1) = 10000(24.67252808)
= $246,725.28
El
último pago = $7,309.88
6) Una bicicleta se vende en $2,400.00 pidiendo $400 de enganche y 17
pagos de $110.00 al mes, así como un 18° pago global final. Si la tasa de
interés fuera del 24% anual capitalizable mensualmente, ¿Cuál sería el importe
del pago global final?
2,000(1.02)18 = 2000(1.428246) =
$2,856.49
110(s(17 + 1) – 1 ) = 110(20.41231)
= $2,245.35
Pago
global = $611.14
7) Encontrar el valor presente de una anualidad diferida de $5000.00 al
año por 10 años, suponiendo que existe un diferido de 5 años. El dinero vale el
6%.
Sustituyendo: n
= 10, m = 5, R = 5000, i = 6%
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1)
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A10(dif) = 5000(a15
– a5) =
5000(9.712249 – 4.212364)
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= 5000(5.499885) = $27,499.43
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2)
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A10(dif) = 5000a10(1.06)–5
= 5000(7.360087)0.747258
|
= $27,499.43
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3)
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A10(dif) = 5000[(1.06)-5
– (1.06)-15]/0.06 =
|
= $27,499.43
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8) Encontrar el valor presente de una
anualidad de $500 cada 3 meses por 5 años si el primer pago se efectúa en 3
años. El dinero vale el 5% capitalizable trimestralmente.
Sustituyendo: n
= 20, i = 1¼ %, m = 11
An = 500(a11+20 – a11)
= 500(25.56929 – 10.21780) = $ 7,675.75
9) Una mujer hereda $25,000. En lugar de retirar
el dinero, lo invierte al 3% anual capitalizable semestralmente, conviniéndose
que recibirá 20 pagos semestrales iguales debiendo recibir el pago inicial
dentro de 5 años. Encontrar el importe de los pagos.
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1)
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25,000 = R(a9 + 20 – a9)
=
R(23.3760756 – 8.3605173)
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R15.0155583 è
R = 25,000/15.0155583 = $1664.94
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2)
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25,000 = Ra20(1.015)-9
=
R(17.1686387851) 0.87459224
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R = 25,000/15.015558253=
$1,664.94
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10) Pagos de $500.00 se efectuarán cada 6 meses y durante 10 años a una
cuenta que paga el 7% capitalizable semestralmente. Encuentra el monto de esta
anualidad 5 años después de efectuado el último pago.
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1)
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S20(a fut) = 500(s30
– s10) =
500(51.622677 – 11.731393) =
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500(39.891284)= $19,945.65
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2)
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S20(a fut) = 500(s20)(1.035)10
=
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500(28.27968)(1.410599) =
= $19,945.65
|
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3)
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S20(a fut) = 500((1.035)30
– (1.035)10)/0,035
|
= $19.945.64
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11) Una institución de ahorros y préstamos
paga el 6% capitalizable en cuentas de ahorros. Los intereses se pagan o
acreditan a las cuentas el 31 de mar, 30 de jun, 30 de sep y 31 de dic. El 30
de sep de 2011 una persona abre una cuenta con un depósito de $500. Cada 3
meses se depositan $200 a la cuenta.
El último depósito de $200 se efectuó el 31
de mar. de 2014. A partir de entonces la cantidad acumulada se deja para que
gane intereses hasta que la cuenta se cierra el 31 de dic. de 2016. Encontrar
la cantidad acumulada a esa fecha.
Conviene que realices el diagrama de tiempo
para que puedas contar claramente el número de períodos de cada inversión.
Los $500 se llevarán como una suma única
desde sep de 2011 hasta dic de 2016.
Utilizamos la fórmula (9) para llevar los
$500 y la fórmula para la anualidad.
500(1.015)21 = 500(1.36706) = $683.53
200(s21 – s11) =
200(24.47052 –
11.86326) =
200(12.60726) = $2,521.45
Total al 31 de dic de 2016 $3,204.98
12) ¿Cuánto deberá invertirse cada año a la tasa del 8% efectiva, si el
primer pago deberá efectuarse en el año 2001 y el último pago se debe efectuar
en el año 2010 de manera que se tenga reunida una cantidad total de $100,000 en
el año 2020?
Sustituyendo: n = 10, p = 10 e i = 0.08
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1)
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100,000 = R(s20 – s10)
R(45.76196430 – 14.48656247) =
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31.27540183R
R = 100,000/31.27540183 = $3,197.40
|
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2)
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100,000 = R(s10)(1.08)10 =
|
100,000/[ (14.48656247)2.15892500]
= $3,197.40
|
13) Una persona deposita $2,000 el día de hoy a la tasa del 6% de
interés. Un año a partir de la fecha de hoy el primero de 19 depósitos anuales
de $100 se efectúa en un fondo que paga el 5%. Veinte años a partir de hoy,
ambas inversiones se retiran, se añaden $100 a tal suma y se procede a comprar
una anualidad de $200 por mes. El primer pago se efectuará 1 mes después de la
compra de la anualidad.
El comprador de la anualidad recibirá el 6%
de interés anual capitalizable mensualmente.
¿Cuántos pagos de $200 se recibirán? . ¿Cuál
será el valor del último pago 1 mes después de que se efectúa el último pago
total?
Supongamos la fecha focal a los 20
años y se lleva hasta ese punto.
Calculamos el interés compuesto del 6% sobre los $2,000 y además obtenemos el
monto de la anualidad anticipada de 19 pagos a la tasa del 5%, aparte añadimos
el último pago de $100.
•
2000(1.06)20 =
2000(3.207135) = $6,414.27
•
100(s20,5% - 1) =
100(32.06595) = $3,206.60
•
Pago final en efectivo = $100.00
Total = $9,720.87
Estos $9,720.87 se habrán de convertir ahora
en el valor presente de una anualidad ordinaria de $200 por mes. Utilizando la
fórmula de valor presente de una anualidad ordinaria, tenemos:
9720.87 = 200an,½%
an,½% = 48.60435
Localizando en las tablas (columna 5)
observamos que existirán 55 pagos completos y uno adicional de menor cuantía. Con el fin de obtener el
importe del último pago, llevamos lo 9720.87 hacia el futuro por 55 períodos y
determinamos el monto de una anualidad de $200 al mes por 55 períodos. Y
finalmente el interés simple de 1 mes.
9,720.87(1.005)55 =
9720.87(1.315629) = $12,789.06
200s55,½% = 200(63.12577) = 12,625.15
$163.91
$163.91(0.005) =
$0.82
$164.73
Demostrando cómo la última parte del
problema puede resolverse de más de una manera, podríamos calcular el 56° pago
colocando la fecha focal a esa fecha y obtener el valor futuro de los 55 pagos
como una anualidad anticipada.
x = 9720.87(1.005)56 - 200(s56 – 1) = 9720.87(1.322207)
– 200(63.44140) =
12,853.00 – 12,688.28 = $164.72
